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【数学】自然数の割り算の余りの問題


知人から、数学の質問をされた。何とか答えは出せたものの、もっと簡単に解ける方法がある気がする。数学から離れて大分経つし、思った以上に忘れてしまっている。どなたか良い解答を思いついたらご教示願いたい。

問題

$$
ある自然数を17で割った時の余りをpとする。\\
この自然数を4倍して1を加えた数も、17で割ると余りはpになる。\\
この時のpはいくつか。
$$

私の解答

$$
pは自然数を17で割った時の余りである事から、(p\in{\bf N})\land(0<p<17)\\
ある自然数をx、17で割ったときの商をm(m\in{\bf Z})\land(m\ge0)とすると\\
x-17m=p\\
x=p+17m\\
xを4倍して1を加えた数を17で割った時の商をn(n\in{\bf Z})\land(n\ge0)とすると\\
4x+1-17n=p\\
この式にx=p+17mを代入し、pについて解くと\\
4(p+17m)+1-17n=p\\
4p+17(4m-n)-p=-1\\
p=\frac{17(n-4m)-1}{3}\\
p\in{\bf N}より、(17(n-4m)-1は3の倍数)\land(n-4m>0)\\
0<p<17より0<\frac{17(n-4m)-1}{3}<17\\
これを満たすのはn-4m=2の時のみで、この時\\
p=11・・・(答)
$$

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